Friday, May 31, 2013

65-06 Basics of Quadratic Equations (Grades 9 to 12) Part-06

Now we will see a few quadratic equations using the formula method.
a) Solve the quadratic equation  5 x 2 - 2 x - 9 = 0.
Solution:
       1) Comparing  5 x 2 - 2 x - 9 = 0 with a x 2 + b x + c = 0 we get,
            a = 5, b = - 2, c = - 9

























b) Solve the quadratic equation  3 x 2 - 4 x - 3 = 0.
Solution:
       1) Comparing  3 x 2 - 4 x - 3 = 0  with a x 2 + b x + c = 0 we get,
            a = 3, b = - 4, c = - 3


Now we will see some rules about the roots of the quadratic equation.
       1) Sum of the roots (α, β) of the quadratic equation a x 2 + b x + c = 0,
              α  +  β  =  - b / a  and   α β  =  c / a
              α  +  β  =  - Coefficient of x / Coefficient of x 2  and   α β  =  Constant / Coefficient of x 2.
       2) If α, β are the roots of the quadratic equation then the quadratic equation will be 
            x 2 - (Sum of the roots)  x + (Product of the roots) = 0,
            x 2 - (α  +  β)  x + (α β) = 0,

Now we will see some important problems on Quadratic equation and the roots of the Quadratic Equations

       a) If the sum of the roots of the quadratic equation is 3 and the sum of their cubes is 63, then find the equation.
         Solution:
          1)  Here, α + β =  3 and  α 3 + β 3 =  63
          2)  We know that , α 3 + β 3 =  (α + β)- 3 α β (α + β)
                                   so ,     63      =  (3)- 3 α β (3)
                                               63      =  27 - 9 α β       Dividing by 9 through out we get
                                                7       =  3  - α β 
                                                 α β   =  3  - 7 
                                                 α β   =  - 4
          3) We know that  the quadratic equation will be 
                       2 - (α  +  β)  x + (α β) = 0 
                       2 - (3)  x + (- 4) = 0 
                       2 - 3 x - 4 = 0 
          4)  Answer: So the required quadratic equation will be 2 - 3 x - 4 = 0.
Few more problems will be discussed in the next Blog.

Thursday, May 30, 2013

64-05 Basics of Quadratic Equations (Grades 9 to 12) Part-05

c]  Solve the quadratic equation  a x 2 + b x + c = 0 using perfect square method.

Solution:
      1) Shift c to RHS we get  a 2 + b x  = - c 
      2) Dividing the equation by " a " through out 
          So,   2 + (b / a) x  = - (c / a)                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) 2 
                                                                                = ( 1/2 (b / a) 2
                                                                                = (b / 2 a2
                                                                                = 2/ 4 a 2




Now we will see a few quadratic equations using the formula method.
a) Solve the quadratic equation  x 2 - 4 x - 21 = 0.
Solution:
       1) Comparing  2 - 4 x - 21 = 0 with a x 2 + b x + c = 0 we get,
            a = 1, b = - 4, c = - 21
       2) Here Discriminant
                                                =  (- 4 )2 - 4 (1) ( - 21) 
                                                =  16 + 84       
                                                =  100
















Few more problems on Quadratic Equations will be discussed in the next Blog

Anil Satpute

Friday, May 24, 2013

63-04 Basics of Quadratic Equations (Grades 9 to 12) Part-04

Now we will see the important problems of quadratic equations to be solved using the perfect square method:

Few steps to be followed to solve the quadratic equation using the perfect square method:

              1) Shift the constant term to the right-hand side of the equation.
              2) Divide both sides of the equation by the coefficient of 2. 
              3) Find the third term of the left-hand side to make it as a perfect square.
              4) Use the formula " Third Term = ( 1/2 coefficient of x ) 2. 
              5) Add this third term so obtained as mentioned in step 4 both sides of the equation.

Please REMEMBER above 5 steps to get your answer quickly and without any mistake. 
a]  Solve the quadratic equation  x 2 - 18 x  + 65 = 0 using perfect square method.

Solution:
      1) Shift 65 to RHS
      2)  2 - 18 x  = - 65                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) 2 
                                                                                = ( 1/2 (18) 2
                                                                                = ( 2
                                                                                = 81
           2 - 18 x  + 81 = - 65 + 81
                   (  - 9 ) 2 = 16
                     (  - 9 )  = + 4 or  - 9 )  = - 4 
                                 = 9 + 4 or   =  9 - 4 
                                 = 13 or   =  5
        3)  So the roots of the equation are 5 or 13 so Solution Set = { 5, 13 }  

b]  Solve the quadratic equation  x 2 - 5 x  + 6 = 0 using perfect square method.

Solution:
      1) Shift 6 to RHS
      2)  2 - 5 x  = - 6                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) 2 
                                                                                = ( 1/2 (5) 2
                                                                                = ( 5/2 2
                                                                                = 25/4
           2 - 5 x  + 25/4 = - 6 + 25/4
                   (  - 5/2 ) 2 = (25-24)/4
                   (  - 5/2 ) 2 = 1/4
                     (  - 5/2 )  = + 1/2 or  - 5/2 )  = - 1/2 
                                 = 5/2 + 1/2 or   =  5/2 - 1/2 
                                 = 6/2 or   =  4/2
                                 = 3 or   =  2
        3)  So the roots of the equation are 2 or 3 so Solution Set = { 2, 3 }  

c]  Solve the quadratic equation  x 2 - 6 x  + 2 = 0 using perfect square method.

Solution:
      1) Shift 2 to RHS
      2)  2 - 6 x  = - 2                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) 2 
                                                                                = ( 1/2 (- 6) 2
                                                                                = ( - 3 2
                                                                                = 9
           2 - 6 x  + 9 = - 2 + 9
                   (  - 3 ) 2 =  7
                     (  - 3 )  = + √ 7 or  - 3 )  = - √ 7 
                                 = 3 + √ 7 or   =  3 √ 7
                                 3 + √ 7 or   =  3 - √ 7
        3)  So the roots of the equation are 3 + √ 7 or 3 - √ 7 so Solution Set = { 3 + √ 7,  3 - √ 7 }  

d]  Solve the quadratic equation  x 2 - 5 x  + 2 = 0 using perfect square method.

Solution:
    1) Shift 2 to RHS
    2)  2 - 5 x  = - 2                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) 2 
                                                                                = ( 1/2 (- 5) 2
                                                                                = ( - 5/2 2
                                                                                = 25/4
           2 - 5 x  + 25/4 = - 2 + 25/4
                   (  - 5/2 ) 2 =  (- 8 + 25)/4
                   (  - 5/2 ) 2 =  17/4
                     (  - 5/2 )  = + (√ 17)/2 or  - 5/2 )  = -  (√ 17)/2 
                                 = 5/2 + (√ 17)/2 or   =  5/2 - (17)/2
                                 = (5 + √ 17)/2 or   =  (5 - √ 17)/2
     3)  So the roots are (5 + √ 17)/2 or (5 - √ 17)/2 so Solution Set = {(5 + √ 17)/2,  (5 + √ 17)/2 }  
Please write your opinions about the methods given for these problems. My email id is: anil@7pute.com

Few more problems will be discussed in the next Blog.

Thursday, May 23, 2013

62-03 Basics of Quadratic Equations (Grades 9 to 12) Part-03

Some special and critical types of the factors:
Please download the following file and study it very carefully so that you will not find any difficulties while solving quadratic equations. 
Click Here to download the file " Critical-type-of-factors.pdf "
Just go through this downloaded file and be prepared to solve any problem pertaining to these critical factors.

Now we will see few more important problems of quadratic equations:

d]  Solve the quadratic equation  x 2 - 18 x  + 65 = 0 using factorization method.

Solution:
      1) The coefficient of x  is 1 and the sign of the constant term  65 is " + ".
      2)  So,           x 2 - 18 x  + 65 = 0                  Here the factors of 1 & 65 are 
                                                                                5 x 13
                                                                                as we want the sum as 18
                                                                                so we have to take 5 & 13
                                                                                5 x 13
                             x 2 - 5 x - 13 x  + 65 = 0
                       x ( x  -  5 )  -  13 ( x  -  5 ) = 0
                        ( x  -  5 )  ( x  -  13 ) = 0
                        ( x  -  5 )  =  0  or  ( x  -  13 ) = 0
                         x  =  5  or   x  =  13
                         x  =  5  or  x  =  13
       3)  So the roots of the equation are 5 or 13 so Solution Set = { 5, 13 }  

e]  Solve the quadratic equation  x 2 - 24 x  + 143 = 0 using factorization method.

Solution:
      1) The coefficient of x  is 1 and the sign of the constant term  143 is " + ".
      2)  So,           2 - 24 x  + 143 = 0                  Here 143 is odd so 2, 4, 6, 8 are not the factors of           
                                                                             143. Similarly 1 + 4 + 3 = 8, which is not divisible by 3 
                                                                             & 9 so 3 & 9 are also not the factors of 143. Unit digit  
                                                                             is not 5 or 0 so 5 and 10 are not the factors of 143. 
                                                                             Sum of digit at unit place & 100th place is 1 + 3 = 4  
                                                                             which is same as the digit at 10th place so 11 is the  
                                                                             factor of 143  so here the factors of 1 & 143 will be 
                                                                             11 x 13
                             x 2 - 11 x - 13 x  + 143 = 0
                       x ( x  -  11 )  -  13 ( x  -  11 ) = 0
                        ( x  -  11 )  ( x  -  13 ) = 0
                        ( x  -  11 )  =  0  or  ( x  -  13 ) = 0
                         x  =  11  or   x  =  13
                         x  =  5  or  x  =  13
       3)  So the roots of the equation are 11 or 13 so Solution Set = { 11, 13 }  

f]  Solve the quadratic equation  5 x 2 + 56 x  + 11 = 0 using factorization method.

Solution:
      1) The coefficient of x  is 5 and the sign of the constant term  11 is " + ".
      2)  So,          5 x 2 + 56 x  + 11 = 0                  Here the factors of 5 & 11 with addition as 56 are 
                                                                             55 x 1
                                                                             as we want the sum as 56
                                                                             so we have to take 55 & 1
                                                                             55 x 13
                          5  x 2 + 55 x  +  x  + 11 = 0
                     5 x ( x  +  11 )  +  ( x  +  11 ) = 0
                        ( 5 x  +  1 )  ( x  +  11 ) = 0
                        ( 5 x  +  1 )  =  0  or  ( x  +  11 ) = 0
                       5 x  =  - 1  or  x  =  - 13
                         x  =  - 1/5  or  x  =  - 11
       3)  So the roots of the equation are - 1/5 or - 11 so Solution Set = { - 1/5, - 11 }  

g]  Solve the quadratic equation  2 x 2 + 21 x  + 45 = 0 using factorization method.

Solution:
      1) The coefficient of x  is 2 and the sign of the constant term  45 is " + ".
      2)  So,          2 x 2 + 21 x  + 45 = 0                  Here the factors of 2 & 45 with addition as 21 are 
                                                                             2 x 45
                                                                             2 x 5 x 9
                                                                             2 x 5 x 3 x 3
                                                                             (2 x 3) x (5 x 3)
                                                                             6 x 15
                                                                             as we want the sum as 21
                                                                             so we have to take 6 & 15
                                                                             6 x 15
                          2 x 2 + 6 x  + 15 x + 45 = 0 
                     2 x ( x  +  3 )  + 15 ( x  +  3 ) = 0
                        ( 2 x  +  15 )  ( x  +  3 ) = 0
                        ( 2 x  +  15 )  =  0  or  ( x  +  3 ) = 0
                       2 x  =  - 15  or  x  =  - 3
                         x  =  - 15/2  or  x  =  - 3
       3)  So the roots of the equation are - 15/2 or - 3 so Solution Set = { - 3, - 15/2 }  
h]  Solve the quadratic equation   x 2 + 5 3 x  + 18 = 0 using factorization method.

Solution:
      1) The coefficient of x  is 1 and the sign of the constant term  18 is " + ".
      2)  So,          2 + 5 3 x  + 18 = 0                  Here the factors of 1 & 18 with addition as 5 are 
                                                                             1 x 18
                                                                             3 x 2 x 3
                                                                             (2 3) x (3 3)
                                                                             as we want the sum as 5 3
                                                                             so we have to take 3 & 3
                                                                             6 x 15
                           x 2 + 3 x  + 3 x + 18 = 0 
                       x ( x  +  3 )  + 3 ( x  +  3 ) = 0
                        ( x  +  3 )  ( x  +  3 ) = 0
                        ( x  +  3 )  =  0  or  ( x  +  3 ) = 0
                        x  =  - 3  or  x  =  - 3
       3)  So the roots of the equation are - 3 or - 3 so Solution Set = { - 3  - 3 }  
Few more problems will be discussed in the next Blog.

Please write your opinions about the methods given for these problems.

Anil Satpute