63-04 Basics of Quadratic Equations

Click here for the previous basics.

Now we will see the important problems of quadratic equations to be solved using the perfect square method:

Few steps to be followed to solve the quadratic equation using the perfect square method:
              1) Shift the constant term to the right-hand side of the equation.

              2) Divide both sides of the equation by the coefficient of x ². 
              3) Find the third term of the left-hand side to make it a perfect square.
              4) Use the formula " Third Term = ( 1/2 coefficient of x ) ². 
              5) Add this third term so obtained as mentioned in step 4 on both sides of the equation.

Please REMEMBER the above 5 steps to get your answer quickly and without any mistakes. 
a]  Solve the quadratic equation  x ² - 18 x  + 65 = 0 using perfect square method.

Solution:

      1) Shift 65 to RHS

      2)  x ² - 18 x  = - 65                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) ² 

                                                                                = ( 1/2 (18) ) ²

                                                                                = ( 9 ) ²

                                                                                = 81

           x ² - 18 x  + 81 = - 65 + 81

                   ( x  - 9 ) ² = 16

                     ( x  - 9 )  = + 4 or ( x  - 9 )  = - 4 

                                x  = 9 + 4 or  x  =  9 - 4 

                                x  = 13 or  x  =  5

        3)  So the roots of the equation are 5 or 13 so Solution Set = { 5, 13 }  

b]  Solve the quadratic equation  x ² - 5 x  + 6 = 0 using perfect square method.

Solution:

      1) Shift 6 to RHS

      2)  x ² - 5 x  = - 6                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) ² 

                                                                                = ( 1/2 (5) ) ²

                                                                                = ( 5/2 ) ²

                                                                                = 25/4

           x ² - 5 x  + 25/4 = - 6 + 25/4

                   ( x  - 5/2 ) ² = (25-24)/4

                   ( x  - 5/2 ) ² = 1/4

                     ( x  - 5/2 )  = + 1/2 or ( x  - 5/2 )  = - 1/2 

                                x  = 5/2 + 1/2 or  x  =  5/2 - 1/2 

                                x  = 6/2 or  x  =  4/2

                                x  = 3 or  x  =  2

        3)  So the roots of the equation are 2 or 3 so Solution Set = { 2, 3 }  

c]  Solve the quadratic equation  x ² - 6 x  + 2 = 0 using perfect square method.

Solution:

      1) Shift 2 to RHS

      2)  x ² - 6 x  = - 2                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) ² 

                                                                                = ( 1/2 (- 6) ) ²

                                                                                = ( - 3 ) ²

                                                                                = 9

           x ² - 6 x  + 9 = - 2 + 9

                   ( x  - 3 ) ² =  7

                     ( x  - 3 )  = + √ 7 or ( x  - 3 )  = - √ 7 

                                x  = 3 + √ 7 or  x  =  3 - √ 7

                                x  = 3 + √ 7 or  x  =  3 - √ 7

        3)  So the roots of the equation are 3 + √ 7 or 3 - √ 7 so Solution Set = { 3 + √ 7,  3 - √ 7 }  

d]  Solve the quadratic equation  x ² - 5 x  + 2 = 0 using perfect square method.

Solution:

    1) Shift 2 to RHS

    2)  x ² - 5 x  = - 2                  Here third term = ( 1/2 coefficient of  x ) ² 

                                                                                = ( 1/2 (- 5) ) ²

                                                                                = ( - 5/2 ) ²

                                                                                = 25/4

           x ² - 5 x  + 25/4 = - 2 + 25/4

                   ( x  - 5/2 ) ² =  (- 8 + 25)/4

                   ( x  - 5/2 ) ² =  17/4

                     ( x  - 5/2 )  = + (√ 17)/2 or ( x  - 5/2 )  = -  (√ 17)/2 

                                x  = 5/2 + (√ 17)/2 or  x  =  5/2 - (√17)/2

                                x  = (5 + √ 17)/2 or  x  =  (5 - √ 17)/2

     3)  So the roots are (5 + √ 17)/2 or (5 - √ 17)/2 so Solution Set = {(5 + √ 17)/2,  (5 + √ 17)/2 }  

Please write your opinions about the methods given for these problems. My email id is: anil@7pute.com

A few more problems on Quadratic Equations will be discussed in the next Blog.

Click here for the next basics.

Anil Satpute